从二元一次方程组到二阶行列式再到克拉默法则

目录

引言1 二元一次方程组什么是二元一次方程组？解法概述示例1. 操作步骤2. 消元法

2 二阶行列式引入行列式行列式定义示例计算

3 克拉默法则什么是克拉默法则？克拉默法则公式使用克拉默法则求解使用克拉默法则求解多元一次方程组求解 \(x\)求解 \(y\)求解 \(z\)使用克拉默法则的限制条件1.方程数与未知数相等2.系数矩阵必须是方阵且行列式结果不为零3.方程组必须是线性的

4 总结

引言

在数学中，线性代数提供了一套强大的工具来解决各种实际问题。本文将介绍从二元一次方程组开始，如何利用二阶行列式和克拉默法则来求解问题。

1 二元一次方程组

什么是二元一次方程组？

二元一次方程组指包含两个变量的一次方程组，通常形如：

{

3

x

+

4

y

=

5

7

x

+

9

y

=

11

\begin{cases} 3x + 4y = 5 \\ 7x + 9y = 11 \end{cases}

{3x+4y=57x+9y=11​

这里，3、4、7、9、5 和 11 是已知的常数，(x) 和 (y) 是需要求解的未知数。

解法概述

解决这种方程组的一种基本方法是消元法。通过适当的操作消去一个变量，简化成一个关于单个变量的方程。让我们详细说明这个过程。

示例

1. 操作步骤

首先，我们将两个方程进行变形，以便消去一个变量。

原方程组：

{

3

x

+

4

y

=

5

7

x

+

9

y

=

11

\begin{cases} 3x + 4y = 5 \\ 7x + 9y = 11 \end{cases}

{3x+4y=57x+9y=11​

2. 消元法

为了消去一个变量，我们将第一个方程和第二个方程进行适当的变换。假设我们希望消去 (x)，我们可以进行如下操作：

将第一个方程乘以 7： 将第二个方程乘以 3：

{

7

⋅

3

x

+

7

⋅

4

y

=

7

⋅

5

3

⋅

7

x

+

3

⋅

9

y

=

3

⋅

11

\begin{cases} 7 \cdot 3x + 7 \cdot 4y = 7 \cdot 5 \\ 3 \cdot 7x + 3 \cdot 9y = 3 \cdot 11 \end{cases}

{7⋅3x+7⋅4y=7⋅53⋅7x+3⋅9y=3⋅11​

两式相减，求得 y 的值

y

=

7

⋅

5

−

3

⋅

11

7

⋅

4

−

3

⋅

9

y=\frac{7 \cdot 5 - 3 \cdot 11}{7 \cdot 4 - 3 \cdot 9}

y=7⋅4−3⋅97⋅5−3⋅11​ 现在我们就想，把分子分母换成行列式写法，由此就引入了二阶行列式的写法，上面的式子可以写为这样

y

=

∣

7

3

11

5

∣

∣

7

3

9

4

∣

y = \frac{\begin{vmatrix} 7 & 3 \\ 11 & 5 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} 7 & 3 \\ 9 & 4 \end{vmatrix}}

y=

​79​34​

​

​711​35​

​​

最后求得 x 和 y 的值：

y

=

2

x

=

−

1

y = 2 \\ x = -1

y=2x=−1

2 二阶行列式

引入行列式

在上面的步骤中，我们进行了方程变换和变量消去，实际上可以使用行列式的方法来简化这些步骤。

行列式定义

行列式是一种代数表达式，用于求解线性方程组。二阶行列式定义如下：

∣

a

b

c

d

∣

=

a

d

−

b

c

\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc

​ac​bd​

​=ad−bc

示例计算

对于矩阵

(

3

4

7

9

)

\begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 7 & 9 \end{pmatrix}

(37​49​)

其行列式为：

∣

3

4

7

9

∣

=

3

⋅

9

−

4

⋅

7

=

27

−

28

=

−

1

\begin{vmatrix} 3 & 4 \\ 7 & 9 \end{vmatrix} = 3 \cdot 9 - 4 \cdot 7 = 27 - 28 = -1

​37​49​

​=3⋅9−4⋅7=27−28=−1

3 克拉默法则

什么是克拉默法则？

克拉默法则是一种利用行列式解决线性方程组的方法。对于一个二元一次方程组：

{

3

x

+

4

y

=

5

7

x

+

9

y

=

11

\begin{cases} 3x + 4y = 5 \\ 7x + 9y = 11 \end{cases}

{3x+4y=57x+9y=11​

它可以表示成矩阵形式 (AX = B)，其中：

A

=

(

3

4

7

9

)

,

X

=

(

x

y

)

,

B

=

(

5

11

)

A = \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 7 & 9 \end{pmatrix}, X = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}, B = \begin{pmatrix} 5 \\ 11 \end{pmatrix}

A=(37​49​),X=(xy​),B=(511​)

克拉默法则公式

克拉默法则提供了求解线性方程组的公式。可以很方便的解出 (x) 和 (y)，注意分母都是一样的： (x)的分子相当于用 (B)替换了 (A)第一列， (y)的分子相当于用 (B)替换了 (A)第二列，

x

=

∣

5

4

11

9

∣

∣

3

4

7

9

∣

,

y

=

∣

3

5

7

11

∣

∣

3

4

7

9

∣

x = \frac{\begin{vmatrix} 5 & 4 \\ 11 & 9 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} 3 & 4 \\ 7 & 9 \end{vmatrix}}, \quad y = \frac{\begin{vmatrix} 3 & 5 \\ 7 & 11 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} 3 & 4 \\ 7 & 9 \end{vmatrix}}

x=

​37​49​

​

​511​49​

​​,y=

​37​49​

​

​37​511​

​​

使用克拉默法则求解

计算分母：

∣

3

4

7

9

∣

=

3

⋅

9

−

4

⋅

7

=

−

1

\begin{vmatrix} 3 & 4 \\ 7 & 9 \end{vmatrix} = 3 \cdot 9 - 4 \cdot 7 = -1

​37​49​

​=3⋅9−4⋅7=−1

计算 (x) 的分子：

∣

5

4

11

9

∣

=

5

⋅

9

−

4

⋅

11

=

45

−

44

=

1

\begin{vmatrix} 5 & 4 \\ 11 & 9 \end{vmatrix} = 5 \cdot 9 - 4 \cdot 11 = 45 - 44 = 1

​511​49​

​=5⋅9−4⋅11=45−44=1

计算 (y) 的分子：

∣

3

5

7

11

∣

=

3

⋅

11

−

5

⋅

7

=

33

−

35

=

−

2

\begin{vmatrix} 3 & 5 \\ 7 & 11 \end{vmatrix} = 3 \cdot 11 - 5 \cdot 7 = 33 - 35 = -2

​37​511​

​=3⋅11−5⋅7=33−35=−2

求解：

x

=

1

−

1

=

−

1

x = \frac{1}{-1} = -1

x=−11​=−1

y

=

−

2

−

1

=

2

y = \frac{-2}{-1} = 2

y=−1−2​=2

使用克拉默法则求解多元一次方程组

也是类似的，用三元一次方程组举例，四元、五元、十元等等类似：

{

2

x

+

3

y

−

z

=

5

4

x

−

y

+

2

z

=

6

3

x

+

2

y

+

z

=

7

\begin{cases} 2x + 3y - z = 5 \\ 4x - y + 2z = 6 \\ 3x + 2y + z = 7 \end{cases}

⎩

⎨

⎧​2x+3y−z=54x−y+2z=63x+2y+z=7​

将其表示为矩阵形式 (AX = B)，其中：

A

=

(

2

3

−

1

4

−

1

2

3

2

1

)

,

X

=

(

x

y

z

)

,

B

=

(

5

6

7

)

A = \begin{pmatrix} 2 & 3 & -1 \\ 4 & -1 & 2 \\ 3 & 2 & 1 \end{pmatrix}, \quad X = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 5 \\ 6 \\ 7 \end{pmatrix}

A=

​243​3−12​−121​

​,X=

​xyz​

​,B=

​567​

​

求解 (x)

用 B 替换 A 的第一列：

x

=

∣

5

3

−

1

6

−

1

2

7

2

1

∣

∣

2

3

−

1

4

−

1

2

3

2

1

∣

=

4

3

x =\frac { \begin{vmatrix} 5 & 3 & -1 \\ 6 & -1 & 2 \\ 7 & 2 & 1 \end{vmatrix} } { \begin{vmatrix} 2 & 3 & -1 \\ 4 & -1 & 2 \\ 3 & 2 & 1 \end{vmatrix} }=\frac{4}{3}

x=

​243​3−12​−121​

​

​567​3−12​−121​

​​=34​

高阶行列式的计算可以使用余子式，按行或列展开计算，本文不再赘述。

求解 (y)

用 B 替换 A 的第二列：

y

=

∣

2

5

−

1

4

6

2

3

7

1

∣

∣

2

3

−

1

4

−

1

2

3

2

1

∣

=

16

15

y =\frac { \begin{vmatrix} 2 & 5 & -1 \\ 4 & 6 & 2 \\ 3 & 7 & 1 \end{vmatrix} } { \begin{vmatrix} 2 & 3 & -1 \\ 4 & -1 & 2 \\ 3 & 2 & 1 \end{vmatrix} }= \frac{16}{15}

y=

​243​3−12​−121​

​

​243​567​−121​

​​=1516​

求解 (z)

用 B 替换 A 的第三列：

z

=

∣

2

3

5

4

−

1

6

3

2

7

∣

∣

2

3

−

1

4

−

1

2

3

2

1

∣

=

13

15

z = \frac { \begin{vmatrix} 2 & 3 & 5 \\ 4 & -1 & 6 \\ 3 & 2 & 7 \end{vmatrix} } { \begin{vmatrix} 2 & 3 & -1 \\ 4 & -1 & 2 \\ 3 & 2 & 1 \end{vmatrix} }= \frac{13}{15}

z=

​243​3−12​−121​

​

​243​3−12​567​

​​=1513​

使用克拉默法则的限制条件

1.方程数与未知数相等

例如，三个未知数，三个方程。

2.系数矩阵必须是方阵且行列式结果不为零

系数矩阵必须是n×n 的矩阵（简称方阵）。如果不是方阵，克拉默法则不能应用。同样行列式计算的结果为零时也不适用。

3.方程组必须是线性的

比如二元一次方程、三元一次方程才适用，不能是二元二次方程，因为已经是平方了，不是线性了。

4 总结

本文我们从二元一次方程组的基本求解方法开始，逐步引入了行列式，并最终介绍了克拉默法则。在实际应用中，使用行列式和克拉默法则可以简化计算过程，使得解决线性方程组更加直观和有效。